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Hoje, nas minhas andanças pela web, descobri que hoje se comemoram os 150 anos da Hipótese de Riemann! Ela foi formulada pela primeira vez em 1859, em novembro, mas ninguém sabe a data exata. Então, o American Institute of Mathematics tradicionalmente pega o “meio” de novembro, para marcar a ocasião.

Eu não quis deixar essa data passar em branco, justamente porque teve uma época em que fiquei fascinada pelo problema (e pensei seriamente em seguir carreira matemática só para resolver o problema). Então, vou reaproveitar um texto do meu antigo blog e reproduzí-lo abaixo. Divirtam-se!

O livro “A música dos números primos”, do autor Marcus du Sautoy, é bem saboroso para quem gosta de matemática. Conta a saga da hipótese de Riemann e seus números primos, desde sua formulação inicial por Riemann até os dias atuais (na verdade também conta um pouco sobre os primeiros povos que descobriram as propriedades interessantes desses números).

Os números primos são, de fato, os bichos mais interessantes da fauna matemática. As partículas elementares da matemática, pois são indivisíveis, e compõem o resto dos números inteiros. E sua característica mais peculiar é o fato de que não tem como, pelo menos até o momento, prever o próximo número da sequência. Desde a Antiguidade até os dias atuais, os matemáticos têm lidado com a tarefa de tentar prever o próximo número primo. Será que a Natureza joga dados com os números, assim como Deus joga?

Para Riemann, há uma grande orquestra em andamento no domínio desses números. Isso significa que, muito possivelmente, há uma ordem implícita na aparente caótica sequência dos primos. Riemann encontrou em uma função particular chamada de função zeta (uma função com valores imaginários e reais, veja abaixo), escrita inicialmente por Euler, a chave que levaria aos segredos dos números primos. Essa função gera uma paisagem imaginária interessante em que os pontos ao nível do mar (ou seja, em y=0) são espaçados de forma harmônica e alinhados ao longo de uma reta. E esses pontos poderiam ser correlacionados com os primos.

Função Zeta de Riemann

Daí veio a formulação da hipótese de Riemann: todos os pontos ao nível do mar se encontram nessa linha, chamada de linha crítica da função zeta. E a prova da hipótese é provar que absolutamente TODOS os pontos estão nessa linha. Se for encontrado um ponto fora dessa linha, a hipótese será considerada falsa.
Bom, então, quem conseguir provar essa hipótese ganha um milhão de dólares do Instituto Clay de Matemática e a imortalidade matemática. Se verdadeira, explicaria bem porque que não há um padrão forte na sequência dos primos.

Qual seria a utilidade prática da teoria dos números? Está bem na sua frente, na Internet. Os números primos são essenciais para os algoritmos de criptografia usados nos protocolos seguros da rede, já que as chaves públicas são o resultado de um produto entre dois números primos grandes. E fatorar um produto desses é tarefa inviável computacionalmente para os computadores atuais (mas não para os futuros computadores quânticos, eu creio…).

É fato sabido de que a Natureza tem predileção por certos tipos de números, como o fato de o número de pétalas de uma flor ser sempre um número da sequência de Fibonacci. No livro, é descrito que o ciclo de vida de um certo inseto é sempre um número primo, para poder escapar de um predador. Grande parte de suas vidas é gasta na forma larval e só emerge depois de 13 ou 17 anos. E após sua saída dos casulos, morrem algumas semanas depois. Acredita-se que esses intervalos entre essas emergências dificultam a ação dos predadores.

Se interessou? Vai lá dar uma olhada no livro A linguagem é acessível para os leigos, mas deve ser uma leitura lenta e atenta.

Para saber mais e explorar um pouco esse ramo da fauna matemática, dê uma olhada nas referências abaixo.

Referências e informações adicionais:

The Prime Pages – Site com informações e um banco de dados dos maiores números primos conhecidos
Prime Conjectures and Open Questions – Uma lista de algumas conjecturas na teoria dos números
The prime number lottery – Parte 1 do resumo do livro
The music of the primes – Parte 2 do resumo do livro
Prime number – Artigo da Wikipedia
Riemann Hypothesis – Site do Clay Institute

Provavelmente você já deve ter ouvido falar de M. C. Escher. Alguns dos desenhos desse artista holandês são simplesmente fantásticos! Um dos tipos de arte que Escher admirava são os mosaicos islâmicos, permeados de padrões geométricos. Dá para perceber a influência do fascínio dele em vários de seus conhecidos trabalhos, como Circle Limit III.

Um mosaico

Uma questão interessante que vi num artigo era sobre porque boa parte da arte islâmica era cheia de padrões geométricos. Escher lamentou (erroneamente) que os artistas que faziam os mosaicos eram proibidos pela tradição religiosa de representar seres vivos. De qualquer modo, é interessante ler no artigo as influências que forjaram a arte islâmica e vou mencioná-las:

- Sem imagens de Deus, exceto a luz: Os muçulmanos não permitiam a idolatria e uma forma adequada para representar Deus era por meio de abstrações, como a luz.

- Escrita é uma obra de arte, não uma ferramenta: Os artesãos árabes, ao contrário dos europeus, consideravam a escrita como um trabalho de obra de arte, não uma ferramenta apenas.

- Geometria é “espiritual”: Bem antes dos muçulmanos, os gregos sempre associaram a geometria a coisas religiosas e místicas. Sua abstração e sua consistência foram um indicativo de um mundo perfeito por trás da realidade e portanto, associada aos deuses. Platão disse (por aí): “Deus pratica geometria”. Depois, foi a vez dos estudiosos muçulmanos considerarem a geometria como um perfeito intermediário entre o material e o espiritual. Boa parte da matemática estudada pelos islâmicos veio das traduções de obras de gregos como Euclides e Pitágoras.

– Paixão pelo céu: A astronomia é uma das ciências mais antigas da humanidade. Desde que o homem se entendeu como gente, sempre interagiu com os céus, tanto de maneira religiosa como prática. As estrelas sempre exerceram um fascínio universal, basta olhar as bandeiras de alguns países. Os árabes viveram em desertos, de maneira nômade e navegavam pelos mares, então faziam constantes observações do céu para navegação. E há uma exigência ao devoto, por 5 vezes ao dia saber a direção correta para se rezar. Grande parte das estrelas do céu têm nomes que vieram do árabe. Fácil de descobrir, não?

- Tapeçaria: A arte de fazer tapetes estava bem estabelecida, por ser uma tradição mais antiga ainda. Não vai dizer que os tapetes persas não têm padrões repetitivos?

Pena que o artigo não esteja disponível de forma livre e só para universidades conveniadas… De qualquer modo, achei bacana saber desses princípios da arte árabe.

Isso leva a outra coisa interessante… será que esses artistas usavam matemática? Ainda mais, uma matemática avançada? Há um estudo feito por Peter Lu e Paul Steinhardt de que eles anteciparam a matemática avançada dos quase-cristais. E o que seriam esses quase-cristais? São estruturas intermediárias entre os cristais – que têm repetição regular e periódica de sua estrutura – e os vidros – sem regularidade na sua repetição. São estruturas simétricas, mas sem repetição.

Um padrão comum nesses antigos mosaicos chamado girih, em persa, é um conjunto de polígonos – decágono, pentágono, diamante, gravata borboleta ou hexágono – que ficam lado-a-lado, sem espaços entre eles e com faixas permeando esses polígonos. Um dos cientistas do estudo verificou que essas estruturas, ainda que simétricas, não se repetiam, ou seja, tinham o mesmo modus operandi dos quase-cristais.

De qualquer modo, sendo essa teoria da matemática dos quase-cristais ser antecipada ser verdadeira ou não, é inegável que os artistas islâmicos medievais sabiam fazer belos padrões geométricos. A repetição meio que é um sinômino de vida, afinal, a vida começou quando a molécula de DNA soube se replicar. É meio que sinônimo com infinito.

Estou em boa companhia dos que curtem isso, como Escher!

Leia mais:
Medieval Islamic Mosaics Used Modern Math
Symmetry and Islamic Art

Um dos motivos de eu adorar a biblioteca da universidade é que em meus frequentes passeios por ela, sempre me deparo com livros que, de outro modo eu nem ia saber ou demoraria mais ainda a ler. Tem uma seção na biblioteca dedicada a biografias de matemáticos e foi numa dessas passagens que peguei uma autobiografia de Mark Kac, o “Enigmas of Chance”.

Kac foi um matemático polonês que emigrou aos EUA pouco antes da invasão da Polônia pela Alemanha nazista. Foi bastante ativo na área de probabilidade e estatística e trabalhou com vários matemáticos eminentes, entre eles, Erdös.

Apesar de não achar tão cativante quanto a biografia “The Man who loved only numbers” (sobre Paul Erdös), o livro do Kac tem seus méritos, já que acabei aprendendo algumas coisas aqui e acolá.

Uma que achei interessante é o efeito Mateus (em inglês, Matthew effect), termo cunhado por Robert Merton, que descreve a tendência de cientistas famosos obterem mais crédito do que deveriam que cientistas não tão famosos, por trabalhos similares. Isso não é novidade, eu só não sabia que tinha um nome.

O nome vem do versículo Mateus 25:29:
“Porque a todo o que tem, dar-se-lhe-á, e terá em abundância; mas ao que não tem, até aquilo que tem ser-lhe-á tirado.”

Kac mencionou o estudo de Marian Smoluchowski, que descreveu o movimento browniano. Outro cientista, Albert Einstein, também explicou o fenômeno, de maneira diferente. Não é nenhuma surpresa que hoje pouca gente saiba disso e o crédito ser atribuído geralmente só a Einstein.

Outro exemplo que vi, desta vez na Wikipedia, é a noção de complexidade de Kolmogorov (basicamente, qual o menor recurso computacional necessário para descrever algum objeto – veja mais no verbete da Wikipedia). Ray Solomonoff é que formalizou essa noção, consequência de seus estudos na teoria de probabilidade algorítmica. Kolmogorov chegou às mesmas ideias pouco depois de Solomonoff.

Sem contar que, a von Neumann, é atribuído o título de “pai do computador”. De fato, vários de seus estudos revolucionaram e ajudaram a impulsionar a teoria da computação e de informação. Mas é injusto atribuir créditos apenas a ele, alguns de seus estudos também tinham ideias expandidas de outros colaboradores. Mesma coisa com a teoria dos jogos, poucos se lembram de Oskar Morgenstern, que escreveu em conjunto com von Neumann o livro que inaugurou oficialmente a teoria dos jogos na matemática.

Eu resolvi pesquisar para ver se não era o caso de César Lattes (um dos descobridores do méson-pi) e de Rosalind Franklin (que também decifrou a estrutura correta do DNA). O primeiro caso, de Lattes, foi mais pelas regras injustas do comitê Nobel, que até 1960 só premiava o líder de pesquisa do grupo.

E o segundo caso, de Rosalind Franklin, me levou a conhecer o corolário do efeito Mateus, o efeito Matilda. Primeiro, deixe-me dizer o que significa corolário: é a consequência imediata de um teorema ou postulado, nesse caso, o efeito Mateus.
Cunhado pela historiadora científica Margaret Rossiter, por causa de Matilda Gage (que experimentou “em primeira mão” o efeito), identifica a situação em que mulheres cientistas recebem pouco ou nenhum crédito pelo seu trabalho científico.

Esses são só alguns dos exemplos. E assim segue a história da ciência… Parece que hoje a situação melhorou bastante, mas ainda tem o que melhorar. O futuro nos dirá.

Ver mais:
Mark Kac on education, physics and mathematics
Biografia de Mark Kac no MacTutor

Fonte do trecho bíblico aqui.

A matemática é mesmo uma ferramenta poderosa para muitas aplicações da ciência… inclusive para modelar alucinações geométricas no córtex visual!

Recentemente tive a oportunidade de assistir a um mini-curso no IME, sobre padrões e simetrias na física e na biologia, então fiquei sabendo (superficialmente) sobre alguns estudos interessantes, como a simetria (e a quebra espontânea dela) na evolução das espécies e outras coisas. Dentre essas outras coisas, tem esse estudo de Golubitsky e cia, que modela alucinações geométricas do córtex visual. Para uma versão um pouquinho mais amigável do estudo, tem uma apresentação em pdf. Não entendi muita coisa, mas eu acho bem interessante e elegante a teoria da simetria e das bifurcações.

O estudo mencionado tenta modelar matematicamente as consequências das drogas forçarem ativações uniformes das células do córtex visual, ocasionando a formação espontânea de padrões nessa região cerebral. É legal ver as imagens no estudo, alguns padrões geométricos são semelhantes a viagens lisérgicas! Como os mostrados abaixo (clique no thumbnail para ver a animação). Tem vários outros padrões modelados nesse link. Diga não às drogas e sim às viagens matemáticas!

Padrão 1

Padrão 2

Padrão 3

PS: Alguém aí manja de neurociência para falar um pouco mais disso?