Uma musiquinha matemática para ter a máquina de Turing na cabeça 
Veja .
Fonte: .
mar 302011
jan 162011
Algumas coisas legais relacionadas à matemática que vi pelo mar de bits.
– Lista dos 10 mais em números transcendentais. Não são números que almejam o nirvana matemático por meio de meditação transcendental e sim, números irracionais que não são raízes de uma equação polinomial com coeficientes inteiros.
– Post bem bacana sobre o espaço 4-dimensional.
– Esse post leva a outro link detalhando os papers, mas o mencionei por causa das estatísticas que aparecem lá. E aí, quer tentar resolver?
– Site para hospedar papers rejeitados por jornais (do tipo peer-reviewed) em ciências matemáticas.
out 242010
Acho que a essa altura você já deve ter sabido que foi para o reino dos fractais no dia 14 de outubro 
Só quero fazer uma simples homenagem a um dos responsáveis por acender minha paixão pela matemática.
Fractal Mandelbrot
Fonte:
Como complemento ao meu post anterior sobre breves curiosidades matemáticas no livro do Ian Stewart (não dava para fazer uma lista exaustiva, certo?), resolvi mencionar quais as relações e diferenças entre caos, fractais e complexidade, pois vejo com frequência algumas pessoas confundirem esses termos entre si. Então vamos à definição simples e básica de cada um 
– A teoria do Caos é um vasto campo da matemática, que estuda como pequenas mudanças nas condições iniciais de um sistema podem alterar drasticamente a evolução do sistema. E mais uma coisa… determinismo não implica necessariamente previsibilidade. Ou seja, não adianta nada uma equação ser determinística e não ter termos randômicos que ainda assim pode entregar resultados aleatórios. Por exemplo, as famosas equações de que não têm solução analítica, e só são resolvidas numericamente, são usadas para modelar o tempo e você sabe o quão precisa é a previsão do tempo a longo prazo. E um fenômeno aparentemente irregular e complexo pode ser modelado por uma equação simples. Admito que não lembro de um exemplo para esse caso, mas me vem à mente a tal que mencionei antes….
– Pode-se dizer que fractais são uma das consequências da Teoria do Caos. mas também tem seu próprio campo, formalmente conhecido como geometria fractal. Fractal é um objeto geométrico que pode ser dividido em partes, cada uma das quais semelhante ao objeto original. Diz-se que os fractais têm infinitos detalhes, são geralmente autossimilares e independem de escala. Em muitos casos um fractal pode ser gerado por um padrão repetido, tipicamente um processo recorrente ou iterativo. Não entrarei em muitos detalhes, porque sugiro prosseguir a leitura com um tutorial muito bom do girino .
– A ciência da complexidade, apesar do nome lembrar coisas caóticas, e estudar como a organização de sistemas naturais pode originar comportamentos complexos, não é a mesma coisa que teoria do caos. Basicamente estuda o comportamento emergente de sistemas onde não se detectam propriedades individualmente em cada agente, mas sim no comportamento do grupo como um todo. Um exemplo na prática seria o , de John Conway.
Para finalizar, tem um texto autobiográfico de 8 páginas muito legal escrito pelo próprio Mandelbrot , quando ele recebeu o prêmio Wolf em 2002.
Rest in peace and in fractals, Mandelbrot.
out 182010
Um dos motivos de conferir sempre a estante de livros novos da biblioteca onde faço pós, é que sempre me deparo com textos de matemática interessantes para leigos. Tive o prazer de me deparar com um, o Professor Stewart´s Cabinet of Mathematical Curiosities (disponível em português, Almanaque das Curiosidades Matemáticas). O livro é bem bacana e recheado de petiscos matemáticos. Nem todo petisco precisa ser resolvido, é claro, alguns são para serem apreciados apenas. Vou mencionar algumas das curiosidades.
– É possível uma curva preencher totalmente um plano finito? Pelo jeito sim… é um tipo de curva fractal que preenche um espaço, iterativamente. Veja o verbete no começo para ver uma animação. Maneiro, não?
– Bom, vocês já devem ter ouvido falar da , certo? Pois bem, existe outra constante matemática, chamada de número plástico, que é a única solução real para a equação 
.
– Esse foi um dos tópicos dos quais eu mais gostei Mostra o quão complexo pode se tornar uma máquina de Turing de duas dimensões com regras bem simples. Seja uma formiga em um plano quadriculado, alternando entre cores brancas e pretas. As regras são: num quadrado branco, a formiga deve virar 90° à direita, pintar o quadrado de preto e andar uma unidade à frente; num quadrado preto, a formiga deve virar 90° à esquerda, pintar o quadrado de branco e andar uma unidade à frente. Parece simples, certo? Mas o que deixa muita gente perplexa, é que não importa em que lugar do quadriculado a formiga comece, ela sempre construirá um tipo de ponte mais cedo ou mais tarde. Essa ordem que emerge do caos meio que confunde muitas pessoas. Para clarificar, um exemplo de figura resultante disso:
Formiga de Langton
Enfim, tem muitas outras coisas que valem pela leitura do livro. Vou dizer que não é assim 100% legal, pois tem umas seções com piadas internas para matemáticos (que ora não entendi ora não achei graça 
). Mas isso não é nada e não afeta a leitura, simplesmente é só seguir lendo até se deparar com algo interessante
out 132010
Tempos atrás, num batepapo com um físico, estávamos falando de funções e coisas esquisitas nas teorias e ele mencionou uma função, com o singelo apelido de “Devil’s Staircase”, algo como escadaria do diabo. Ou mais formalmente conhecida como função de Cantor (para evitar confusões – nunca se sabe – tô falando do matemático ). Se bem que, de acordo com algumas pesquisas que fiz, a função de Cantor seria um caso específico da “Devil’s Staircase”, que por sua vez, caracteriza as funções singulares.
Bom, o que seria, antes de tudo, uma função de Cantor? Antes, vou explicar o que seria um conjunto de Cantor. Imagine um gráfico com os eixos x e y, e temos o valor de y=1 para todos os valores de x. Ou seja, poderíamos dizer que é uma função contínua em x, que representa o intervalo fechado [0,1]. Calma que logo mais coloco um desenho explicando o conceito. Daí dividiremos esse intervalo fechado [0,1] em três partes iguais, e jogamos fora a parte do meio. O que sobra? Um vazio no meio dos dois intervalos certo? Se repetirmos essa operação para os intervalos restantes, teremos um . O resultado seria o gráfico abaixo (fonte: ):
Conj. de Cantor em 7 iterações
Get it?
Bom, agora podemos ir à definição de função de Cantor. A formal: é uma função contínua, diferenciável, que cresce de [0,1] para [1,0], mas não absolutamente contínua. Suas derivadas são zero em todo lugar, menos no conjunto com comprimento zero. A informal (e mais fácil): a função só cresce em saltos, ou seja, tem que “acumular” um pouco (fica constante no eixo x – horizontal) para depois pular mais alguns valores no eixo y (vertical).
Função de Cantor
E caso você se pergunte se isso tem algum reflexo no mundo real, dê uma olhada nesse que mostra uma aplicação prática. Também é usada para modelar certos modelos físicos em sistemas dinâmicos.
Impressionante como certas coisas da matemática são bacanas e recebem uns apelidos diabólicos, hein? Ah, e um aviso, não sou matemática (e sim apenas uma entusiasta), então, fiz um post bem básico mesmo, porque simplesmente achei legal o nome da função. Caso tenha algum errinho, avise nos comentários, por favor
Leituras adicionais e fontes: