Isso leva a vários problemas práticos. Quando há seres vivos bidimensionais vivendo nesse círculo planetário, como ir de um lado para outro? Como seria a sociedade? Uma tecnologia bidimensional seria possível? Seres vivos 2D seriam biologicamente possíveis?

O livro The Planiverse: computer contact with a two-dimensional world, de A. K. Dewdney trata de todas essas questões, onde um professor de computação e seu grupo de estudantes (tridimensionais, para deixar claro) se deparam acidentalmente com um mundo de duas dimensões muito mais rico do que imaginavam nas suas simulações. E conversam com um ser vivo bidimensional chamado Yndred, que lhes dá informações interessantes sobre o mundo em que vive.

A grande atração do livro não é a trama em si e sim as tentativas de responder a todas essas perguntas acima, enriquecidas com desenhos e gráficos dos seres vivos, do ambiente, de situações, de construções, de tecnologias e das forças da natureza.
Falando de construções, todas estão debaixo do chão, afinal, as pessoas precisam trafegar pelo planeta. Isso leva a umas construções e a umas regras de comportamento interessantes… que não mencionarei, seria, de certa forma, um spoiler. Vou é propor um pequeno experimento mental: o que fazer se você vê uma aglomeração de seres trabalhando ou jogando algum esporte? (claro que existem diversões bidimensionais!) Ou pega o livro ou tente você mesmo responder à questão =D Duas dicas: lembre-se do ponto de vista do ser bidimensional, ele vê tudo em linha vertical; a outra dica, pressa não existe nesse mundo, paciência é a norma.

Outra coisa que achei muito legal é pensar a respeito das leis físicas nesse universo. Elas se comportam de maneira diferente, por exemplo, você sabe que no nosso universo, a força gravitacional diminui à proporção de . Em duas dimensões, diminuiria à razão de , ou seja, as forças da natureza, de certa forma, são mais fortes em 2D que em 3D, porque demoram mais para se dispersar. Para entender melhor, tente imaginar o seguinte em 3D:
- temos uma fonte de luz pontual que emite energia;
- à distância de 1 metro dessa fonte de luz, temos um quadrado iluminado pela fonte de luz com uma certa energia E;
- à distância de 3 metros, teremos 9 quadrados iluminados pela fonte de luz, mas a energia que incide é a mesma, E. Ela está apenas distribuída nos 9 quadrados, em vez de se concentrar em um só quadrado;

É por isso que a energia se reduz ao quadrado com a distância. Agora, em 2D, nos interessa apenas a “linha” , que vai da fonte da luz até o vértice do quadrado a 1 metro de distância. Para visualizar graficamente isso, dê uma olhada nesse esquema que é uma página do livro no Google Books que explica esse fenômeno da energia bidimensional.

Também há no livro algumas reflexões a respeito do eletromagnetismo, dos átomos e das configurações possíveis de moléculas no plano… e muitas outras coisas. Então, será que dei motivos suficientes para tu querer ler o livro?

Para finalizar, que tal “relaxar” tentando decifrar formas em quatro dimensões? Pegue gratuitamente (e legamente) esse filme, Dimensions, e boa diversão!

Racional ou real?

Fonte: Mighty Wombat

Pelo que entendi do artigo, cada sino é responsável por uma nota em um certo instante do tempo. Para simplificar as coisas… suponha que temos 4 sinos. E uma permutação… ah, o que vem a ser isso? Resumidamente, uma permutação é: de quantas maneiras possíveis posso colocar em ordem um certo número x de objetos? Cada maneira possível de ordenar os x é uma permutação. Qualquer coisa, dê um pulo no verbete da Wikipedia =)

Continuando… uma permutação entre os sinos pode ser feita (change), ou seja: 1234 significa que toca-se o sino 1 primeiro, depois o sino 2, o sino 3 e finalmente o sino 4. Do artigo, existe o termo ring the changes, que é basicamente tocar as permutações (que são os changes), obedecendo a três regras:
- A sequência começa e termina com a permutação 1234.
- Exceto pela permutação 1234, não se pode repetir permutações nessa sequência.
- De uma mudança para outra (de uma permutação para outra), o sino pode mover por, no máximo, uma posição, em sua ordem de toque.
Uma sequência assim seria válida: 1234 – 2143 – 1243 – 1234. No artigo tem uma imagem com uma sequência maior ainda, que reproduzo aqui:

Sequência de changes com 4 sinos

Fonte da imagem: +plus

Tocar um sino leva mais ou menos dois segundos, o tempo aproximado de um sino grande para completar um círculo de 300 graus (quase um círculo completo).

Sino tocando

Fonte: Washington Ringing Society

E os experientes, se quiserem tocar por longos períodos, podem tocar até 5 mil permutações! Uau! Isso resulta em horas de sinos tocando… Os caras não usam nada para se lembrarem das sequências, nem aqueles papéis com notas e um tocador não pode ser substituído por outro enquanto há a sessão de puxar as cordas do sino. Melhor ainda, deve conseguir recitar sem erros a sequência de várias centenas de combinações possíveis com o conjunto de sinos!

Um dos objetivos a ser alcançado é atingir o maior número possível de permutações sem infringir a terceira regra. Isso é conhecido como extent, no linguajar dos bellringers. A cada número de sinos, cada extent tem um nome (que são, digamos, inusitados), como Plain Bob Minimus (4 sinos), Plain Bob Doubles (5 sinos), Plain Bob Minor (6 sinos) e por aí vai com a mesma estrutura do Plain Bob Minimus. Há outros tipos de sequências com nomes mais inusitados ainda como Reverse Canterbury Pleasure Place Doubles, Grandsire Triples, e Cambridge Surprise Major…

Se você tem um conjunto de 4 sinos, pode fazer uma sequência máxima de 24 permutações (ou changes in extent). Que leva mais ou menos 48 segundos para ser tocada. Quando maior o número de changes na sequência, maior o tempo necessário. Parece que com 8 sinos, tem 40320 permutações a tocar e leva 22 horas e 24 minutos para ser tocada! Essa foi a maior sequência feita e apenas uma vez  em Loughborough Bell Foundry em 1963 (com um tempo de quase 18 horas). Já com 9 sinos a coisa não se torna lá muito viável humanamente, a sequência teria 362880 permutações e levaria 8 dias e 10 horas!

Lá no artigo tem muitas outras coisas interessantes, como vídeos do pessoal em ação com som e tudo – não consegui linkar os vídeos, então vão ter que visitar o artigo mesmo para visualizar e ouvir. Há ainda sobre  o papel das permutações na matemática – como teoria dos grupos, por causa da simetria das permutações – e outra maneira matemática de explorar as sequências de permutações dos sinos que é na teoria dos grafos. Os vértices dos grafos seriam as permutações e as arestas a sequência permitida entre uma permutação e outra (obedecendo à terceira regra, de mudar apenas uma posição).

Daí você se pergunta. Porque diabos tem toda essas regras? Porque que não usam simplesmente tons para tocar? O problema é que sinos são meio grandes e levam um tempinho para o som “se completar”. Se você tocar rápido demais, os sons começam a se “sobrepor” e não sai daí uma coisa harmoniosa. Por isso que os tocadores de sinos botaram algumas regras para ter um toque perfeito dos sinos da igreja.

Tentei dar uma pesquisada para ver se tem no Brasil alguma associação ou igrejas que têm grupos assim, mas não consegui achar nada a respeito. Se alguém souber de algo a respeito, diz aí!

Enfim, para concluir, isso só prova que a matemática está em tudo, até nos lugares mais inusitados!

Veja mais:
Verbete na Wikipedia sobre Change Ringing – tem mais links no final.
Artigo do +plus Ringing the Changes.
The Central Council of Church bell ringers.
Site do Washington Ring Society com algumas animações.

O autor consegue a proeza de traçar um panorama da história da estatística até o final do século XX de maneira bem agradável, com exemplos de aplicações até os dias atuais, além de falar de alguns cientistas, alguns humildes e outros com ego grande, tramas com estatísticos trabalhando com a cervejaria Guiness e outras sobre preconceitos sexuais com as mulheres na estatística. É bom tanto para os iniciados na área como para os não-iniciados, que nem precisam ter profundo background matemático.

Tem várias personalidades, como R. A. Fisher (estranhamente, confundo-o com Bob Fisher de vez em quando…) e A. N. Kolmogorov (um de meus matemáticos prediletos, merecidamente um Mozart da matemática). Mas o que achei legal mesmo é o destaque que o autor deu às mulheres na história da estatística. Eu não sabia que a enfermeira Florence Nightingale era uma boa estatística! Melhor ainda, ela inspirou um casal amigo dela a dar o nome Florence Nightingale David à filha do casal. Pois é, existem duas Florences Nightingales! F.N. David trabalhou por uns tempos com o eminente estatístico Karl Pearson, que também está no livro. Na real, o nome original do cara era Carl, mas mudou-o para Karl, em homenagem a Karl Marx. O_o

A guria também escreveu um livro interessante sobre probabilidade, o “Games, Gods and Gambling”, um misto de autobiografia com história. Vou dar uma olhada nesse livro também

Outra coisa interessante que aprendi do livro é a chamada “lei da misonomia de Stigler” ou “lei da eponimia de Stigler”. O que diabos significa? O enunciado da lei seria:

Nenhuma coisa na ciência leva o nome da pessoa que a descobriu.

Eu não diria que TUDO na ciência e em matemática segue essa lei, mas realmente há exemplos abundantes. Para começar, com a própria lei:

• Lei de Stigler: Stephen Stigler diz que a lei foi enunciada pelo sociólogo Robert K. Merton.
• Distribuição gaussiana (normal): Dizem que foi Gauss que descobriu isso. Mas foi Abraham de Moivre quem escreveu primeiro a fórmula. Há alguns comentários na literatura de que Daniel Bernoulli tenha a escrito, mas não é unanimidade.
• Distribuição de Poisson: Poisson escreveu sobre essa distribuição, mas novamente, a distribuição foi descrita anteriormente por um dos Bernoulli.
• Mal de Alzhemier: É verdade que foi descrita por Alois Alzhemier, mas outros já faziam descrições dessa doença.
• Algarismos arábicos: Deviam ser chamados de algarismos indianos ou hindu, afinal, foram inventados na Índia! Vez ou outra, os chamam de indo-arábicos…

E há vários outros exemplos…

Não é simplesmente mais um livro sobre a história da estatística. Diria até que foi o melhor que li até agora. Tem outro que fiz breves comentários, o “Enigmas of Chance” de Mark Kac, mas o “Uma senhora toma chá…” ganha de longe! Recomendadíssimo!

Eu não quis deixar essa data passar em branco, justamente porque teve uma época em que fiquei fascinada pelo problema (e pensei seriamente em seguir carreira matemática só para resolver o problema). Então, vou reaproveitar um texto do meu antigo blog e reproduzí-lo abaixo. Divirtam-se!

O livro “A música dos números primos”, do autor Marcus du Sautoy, é bem saboroso para quem gosta de matemática. Conta a saga da hipótese de Riemann e seus números primos, desde sua formulação inicial por Riemann até os dias atuais (na verdade também conta um pouco sobre os primeiros povos que descobriram as propriedades interessantes desses números).

Os números primos são, de fato, os bichos mais interessantes da fauna matemática. As partículas elementares da matemática, pois são indivisíveis, e compõem o resto dos números inteiros. E sua característica mais peculiar é o fato de que não tem como, pelo menos até o momento, prever o próximo número da sequência. Desde a Antiguidade até os dias atuais, os matemáticos têm lidado com a tarefa de tentar prever o próximo número primo. Será que a Natureza joga dados com os números, assim como Deus joga?

Para Riemann, há uma grande orquestra em andamento no domínio desses números. Isso significa que, muito possivelmente, há uma ordem implícita na aparente caótica sequência dos primos. Riemann encontrou em uma função particular chamada de função zeta (uma função com valores imaginários e reais, veja abaixo), escrita inicialmente por Euler, a chave que levaria aos segredos dos números primos. Essa função gera uma paisagem imaginária interessante em que os pontos ao nível do mar (ou seja, em y=0) são espaçados de forma harmônica e alinhados ao longo de uma reta. E esses pontos poderiam ser correlacionados com os primos.

Função Zeta de Riemann

Daí veio a formulação da hipótese de Riemann: todos os pontos ao nível do mar se encontram nessa linha, chamada de linha crítica da função zeta. E a prova da hipótese é provar que absolutamente TODOS os pontos estão nessa linha. Se for encontrado um ponto fora dessa linha, a hipótese será considerada falsa.
Bom, então, quem conseguir provar essa hipótese ganha um milhão de dólares do Instituto Clay de Matemática e a imortalidade matemática. Se verdadeira, explicaria bem porque que não há um padrão forte na sequência dos primos.

Qual seria a utilidade prática da teoria dos números? Está bem na sua frente, na Internet. Os números primos são essenciais para os algoritmos de criptografia usados nos protocolos seguros da rede, já que as chaves públicas são o resultado de um produto entre dois números primos grandes. E fatorar um produto desses é tarefa inviável computacionalmente para os computadores atuais (mas não para os futuros computadores quânticos, eu creio…).

É fato sabido de que a Natureza tem predileção por certos tipos de números, como o fato de o número de pétalas de uma flor ser sempre um número da sequência de Fibonacci. No livro, é descrito que o ciclo de vida de um certo inseto é sempre um número primo, para poder escapar de um predador. Grande parte de suas vidas é gasta na forma larval e só emerge depois de 13 ou 17 anos. E após sua saída dos casulos, morrem algumas semanas depois. Acredita-se que esses intervalos entre essas emergências dificultam a ação dos predadores.

Se interessou? Vai lá dar uma olhada no livro A linguagem é acessível para os leigos, mas deve ser uma leitura lenta e atenta.

Para saber mais e explorar um pouco esse ramo da fauna matemática, dê uma olhada nas referências abaixo.

Referências e informações adicionais:

The Prime Pages – Site com informações e um banco de dados dos maiores números primos conhecidos
Prime Conjectures and Open Questions – Uma lista de algumas conjecturas na teoria dos números
The prime number lottery – Parte 1 do resumo do livro
The music of the primes – Parte 2 do resumo do livro
Prime number – Artigo da Wikipedia
Riemann Hypothesis – Site do Clay Institute