Fonte: Reddit.

Top ten transcendental numbers – Lista dos 10 mais em números transcendentais. Não são números que almejam o nirvana matemático por meio de meditação transcendental e sim, números irracionais que não são raízes de uma equação polinomial com coeficientes inteiros.

Exotic spheres, or why 4-dimensional space is a crazy place – Post bem bacana sobre o espaço 4-dimensional.

65 attempts to solve P vs NP – Esse post leva a outro link detalhando os papers, mas o mencionei por causa das estatísticas que aparecem lá. E aí, quer tentar resolver?

Rejecta Mathematica – Site para hospedar papers rejeitados por jornais (do tipo peer-reviewed) em ciências matemáticas.

Fractal Mandelbrot

Fonte: Wikipedia

Como complemento ao meu post anterior sobre breves curiosidades matemáticas no livro do Ian Stewart (não dava para fazer uma lista exaustiva, certo?), resolvi mencionar quais as relações e diferenças entre caos, fractais e complexidade, pois vejo com frequência algumas pessoas confundirem esses termos entre si. Então vamos à definição simples e básica de cada um

Caos – A teoria do Caos é um vasto campo da matemática, que estuda como pequenas mudanças nas condições iniciais de um sistema podem alterar drasticamente a evolução do sistema. E mais uma coisa… determinismo não implica necessariamente previsibilidade. Ou seja, não adianta nada uma equação ser determinística e não ter termos randômicos que ainda assim pode entregar resultados aleatórios. Por exemplo, as famosas equações de Navier-Stokes que não têm solução analítica, e só são resolvidas numericamente, são usadas para modelar o tempo e você sabe o quão precisa é a previsão do tempo a longo prazo. E um fenômeno aparentemente irregular e complexo pode ser modelado por uma equação simples. Admito que não lembro de um exemplo para esse caso, mas me vem à mente a tal formiga de Langton que mencionei antes….

Fractais – Pode-se dizer que fractais são uma das consequências da Teoria do Caos. mas também tem seu próprio campo, formalmente conhecido como geometria fractal. Fractal é um objeto geométrico que pode ser dividido em partes, cada uma das quais semelhante ao objeto original. Diz-se que os fractais têm infinitos detalhes, são geralmente autossimilares e independem de escala. Em muitos casos um fractal pode ser gerado por um padrão repetido, tipicamente um processo recorrente ou iterativo. Não entrarei em muitos detalhes, porque sugiro prosseguir a leitura com um tutorial muito bom do girino aqui.

Complexidade – A ciência da complexidade, apesar do nome lembrar coisas caóticas, e estudar como a organização de sistemas naturais pode originar comportamentos complexos, não é a mesma coisa que teoria do caos. Basicamente estuda o comportamento emergente de sistemas onde não se detectam propriedades individualmente em cada agente, mas sim no comportamento do grupo como um todo. Um exemplo na prática seria o Jogo da Vida, de John Conway.

Para finalizar, tem um texto autobiográfico de 8 páginas muito legal escrito pelo próprio Mandelbrot aqui, quando ele recebeu o prêmio Wolf em 2002.

Rest in peace and in fractals, Mandelbrot.

Curva de Hilbert – É possível uma curva preencher totalmente um plano finito? Pelo jeito sim… é um tipo de curva fractal que preenche um espaço, iterativamente. Veja o verbete no começo para ver uma animação. Maneiro, não?

Número plástico – Bom, vocês já devem ter ouvido falar da razão áurea, certo? Pois bem, existe outra constante matemática, chamada de número plástico, que é a única solução real para a equação [latex]x^{3}=x+1[/latex].

Formiga de Langton – Esse foi um dos tópicos dos quais eu mais gostei Mostra o quão complexo pode se tornar uma máquina de Turing de duas dimensões com regras bem simples. Seja uma formiga em um plano quadriculado, alternando entre cores brancas e pretas. As regras são: num quadrado branco, a formiga deve virar 90° à direita, pintar o quadrado de preto e andar uma unidade à frente; num quadrado preto, a formiga deve virar 90° à esquerda, pintar o quadrado de branco e andar uma unidade à frente. Parece simples, certo? Mas o que deixa muita gente perplexa, é que não importa em que lugar do quadriculado a formiga comece, ela sempre construirá um tipo de ponte mais cedo ou mais tarde. Essa ordem que emerge do caos meio que confunde muitas pessoas. Para clarificar, um exemplo de figura resultante disso:

Formiga de Langton

Enfim, tem muitas outras coisas que valem pela leitura do livro. Vou dizer que não é assim 100% legal, pois tem umas seções com piadas internas para matemáticos (que ora não entendi ora não achei graça ). Mas isso não é nada e não afeta a leitura, simplesmente é só seguir lendo até se deparar com algo interessante

Bom, o que seria, antes de tudo, uma função de Cantor? Antes, vou explicar o que seria um conjunto de Cantor. Imagine um gráfico com os eixos x e y, e temos o valor de y=1 para todos os valores de x. Ou seja, poderíamos dizer que é uma função contínua em x, que representa o intervalo fechado [0,1]. Calma que logo mais coloco um desenho explicando o conceito. Daí dividiremos esse intervalo fechado [0,1] em três partes iguais, e jogamos fora a parte do meio. O que sobra? Um vazio no meio dos dois intervalos certo? Se repetirmos essa operação para os intervalos restantes, teremos um conjunto de Cantor. O resultado seria o gráfico abaixo (fonte: Wikipedia):

Conj. de Cantor em 7 iterações

Get it?

Bom, agora podemos ir à definição de função de Cantor. A formal: é uma função contínua, diferenciável, que cresce de [0,1] para [1,0], mas não absolutamente contínua. Suas derivadas são zero em todo lugar, menos no conjunto com comprimento zero. A informal (e mais fácil): a função só cresce em saltos, ou seja, tem que “acumular” um pouco (fica constante no eixo x – horizontal) para depois pular mais alguns valores no eixo y (vertical).

Função de Cantor

E caso você se pergunte se isso tem algum reflexo no mundo real, dê uma olhada nesse post que mostra uma aplicação prática. Também é usada para modelar certos modelos físicos em sistemas dinâmicos.

Impressionante como certas coisas da matemática são bacanas e recebem uns apelidos diabólicos, hein? Ah, e um aviso, não sou matemática (e sim apenas uma entusiasta), então, fiz um post bem básico mesmo, porque simplesmente achei legal o nome da função. Caso tenha algum errinho, avise nos comentários, por favor

Leituras adicionais e fontes:

Cantor Set and Function

The Cantor Function (a.k.a., “the Devil’s Staircase”)

Singular function

Cantor function

Mathworld – Cantor function

MathWorld – Devil’s Staircase

Nas minhas pesquisas (nem sempre produtivas) sobre os mais variados ramos da matemática aplicada à computação, me deparei com um tópico deveras interessante, o chamado compressed sensing (não sei bem qual seria a tradução adequada para o português, e nem vou arriscar). É um tópico, inicialmente teórico, que recentemente encontrou aplicações interessantes na engenharia e na computação. A palavra-chave é frequentemente acompanhada das palavras sparse representation (representação esparsa).

O que seria isso, de maneira bem resumida? Em vez de amostrar todas as características de um objeto a ser descrito (como uma imagem), é suficiente pegar apenas alguns pedaços de informação e de maneira aleatória, sem procurar por pontos específicos que ainda assim será suficiente para reconstruir o objeto (a imagem).

Isso é muito interessante para aplicações em visão computacional, pois aí já não precisaria depender de pegar pontos específicos de um frame e tentar interpretá-los. Em outras palavras, é realmente necessário procurar por um par de olhos para entender que é uma face? Desde que seja qualquer ponto que caia dentro da face (pele, orelhas, boca), será suficiente entender que há um rosto na imagem, mesmo que ele tenha oclusão (ocultamento parcial). Isso foi feito por um time de pesquisadores já, nesse site.

Admito que ainda não peguei a totalidade do tópico, ainda estou estudando, mas há links acessíveis para os dummies (eu diria que seria semi-dummies, porque ainda exige uns conhecimentos básicos de matemática). Aí vão:

Compressed sensing – Verbete da Wikipedia com links interessantes ao final do artigo.
Compressed sensing makes every pixel count – Um artigo (em pdf) muito bom para se inteirar do básico do assunto.
Nuit Blanche – Blog que pega todas as novidades da área, como papers e conferências.
Compressive Sensing: The Big Picture – Tutorial que lista o que se deve entender, basicamente.

Bom, é isso aí que vou voltar para os meus estudos

Antes de 1700 já tinham algumas calculadoras rudimentares feitas, à base de engrenagens metálicas. E o computador mais antigo já feito é o mecanismo de Antikythera, um impressionante mecanismo capaz de prever eclipses e órbitas planetárias, entre outras coisas.

E o que esses objetos e, digamos, as engrenagens vitorianas (tanto as reais como as das histórias ficcionais) têm em comum? As engrenagens… Você já parou para pensar em como os engenheiros calculavam os números de dentes necessários em cada roda para o melhor desempenho do sistema como um todo? Ou para que um dado mecanismo tenha a velocidade desejada?

É aí que entra a teoria dos números

Existe um tipo de árvore binária com propriedades interessantes chamada de Stern-Brocot, sugerida por Moritz Abraham Stern, primeiro aluno de doutorado de Gauss e que o sucedeu no cargo de professor de matemática em Göttingen.  As folhas e as arestas dessa árvore são números racionais, razões de inteiros como 4/6 ou 8/11. Ela se constrói assim: sejam quaisquer dois números racionais, a/b e c/d, e entre eles, temos o que chamamos de “mediante” (mediant em inglês), que é composto por (a+b)/(c+d). Começando com esses três números, obtemos novamente outra mediante entre o primeiro e o segundo número e entre o segundo e o terceiro número. E assim segue.

Na figura abaixo temos um exemplo:

A figura nos mostra a árvore canônica, que começa com 0/1 e 1/0 (er, ignore a divisão por zero). Aí temos 1/1 (no topo) e o nível seguinte tem (0+1)/(1+1) = 1/2 e (1+1)/(1+0) = 2/1 e assim segue.

O negócio interessante é que todo número racional aparece na árvore, mas nenhum número se repete. Ainda tem outras propriedades, mas não me estenderei aqui (recomendo ver o primeiro link no final do post). Já já voltaremos a essa árvore.

Em uma roda, a haste pode girar uma volta por um minuto ou por uma hora (ou pelo tempo que quiser). Então, como especificar o tempo que a haste de uma roda deve girar? A primeira lei dos construtores de rodas é que a velocidade de uma roda é inversamente proporcional ao número dos seus dentes (ranhuras). Para isso se usam várias rodas auxiliares, como veremos nas imagens abaixo:

Na imagem acima, a roda verde, com 20 dentes, “gerencia” a maior, com 60 dentes (no jargão da arte de fazer relógios, a roda pequena é chamada de pinion enquanto que a maior é uma roda). Enquanto a verde avança em um dente, assim o faz também a roxa. Uma revolução da verde ocasionará em 20/60 ou 1/3 da revolução da roda roxa. Então podemos dizer que a velocidade angular da roda roxa é 1/3 da verde.

Ampliando o esquema para 2 rodas grandes A e B (com seus respectivos pinions, a e b), a razão será de a/A x b/B e aí você poderá escolher os melhores valores de a, b, A e B que produzam um determinado número (que seria a velocidade desejada de uma revolução). Como exemplo, rodas com 6/200 e 5/216 produziriam 30/43200, que é igualzinho a 1/1440 (que seria uma rotação por dia).

O problema é: como achar esses números? Usando fatoração! Se quisermos apenas números inteiros nas razões, a fatoração resolve o problema. Mas o que fazer caso a razão de duas velocidades seja um número fracionário ou algo como o pi? A fatoração falha nesse caso e vai contra a tal lei que estabelece que o número de dentes deve ser um inteiro.

Achille Brocot, um eminente relojoeiro francês, sugeriu um algoritmo para isso. Vamos supor que temos uma roda menor que faz 1 revolução em 23 minutos e outra roda maior, que faz uma revolução em 3h e 11 minutos (191 minutos). Tanto 23 como 191 são números primos e a razão entre eles não dará um número racional.

Pode-se verificar que 191/23 está entre 8 e 9 (8,304…), então a razão deve ficar entre 8 para 1 e 9 para 1. Em um papel, na primeira linha anota-se:

Os 2 primeiros números representam a razão 8 para 1 e o terceiro representa o erro associado, 8/1 * 23/23 = 184/23, e 191-184 = –7, o que significa que a roda maior (a de 191 min) terminará sua rotação 7 minutos antes. Na última linha da folha de papel escreve-se:

…

com o mesmo princípio da linha anterior. Aí começa a parte iterativa do algoritmo, adiciona-se as 2 linhas (a primeira e a final) e põe no meio (que é a mediante).

…

…

Escolhe-se somar essa linha do meio com a de cima ou com a de baixo. Geralmente, é com a de cima, então temos:

…

E assim se segue iterativamente até chegar na tabela final:

Aí dá para se notar que a melhor aproximação para 191/23 é a razão 83/10 (um minuto adiantado) e 108/13 (um minuto atrasado).

Para diminuir mais ainda o erro, recorre-se a mais rodas dentadas. O algoritmo se aplica perfeitamente a mais rodas. Enquanto Stern viu o lado puramente matemático da coisa, Brocot usou a árvore para ajudar a calcular a melhor razão entre rodas, uma aplicação bem prática. Fascinante ver uma estrutura tanto do ponto de vista da matemática pura e da engenharia!

Depois que li sobre isso, passei a ver com outros olhos as engrenagens… E quem sabe alguém se anima de escrever uma história steampunk com esses elementos matemáticos?

Para saber mais:

Trees, Teeth, and Time: The mathematics of clock making – by David Austin
Stern-Brocot tree – Wikipedia
On the teeth of wheels – by Brian Hayes (no qual foi baseado o post)

Isso leva a vários problemas práticos. Quando há seres vivos bidimensionais vivendo nesse círculo planetário, como ir de um lado para outro? Como seria a sociedade? Uma tecnologia bidimensional seria possível? Seres vivos 2D seriam biologicamente possíveis?

O livro The Planiverse: computer contact with a two-dimensional world, de A. K. Dewdney trata de todas essas questões, onde um professor de computação e seu grupo de estudantes (tridimensionais, para deixar claro) se deparam acidentalmente com um mundo de duas dimensões muito mais rico do que imaginavam nas suas simulações. E conversam com um ser vivo bidimensional chamado Yndred, que lhes dá informações interessantes sobre o mundo em que vive.

A grande atração do livro não é a trama em si e sim as tentativas de responder a todas essas perguntas acima, enriquecidas com desenhos e gráficos dos seres vivos, do ambiente, de situações, de construções, de tecnologias e das forças da natureza.
Falando de construções, todas estão debaixo do chão, afinal, as pessoas precisam trafegar pelo planeta. Isso leva a umas construções e a umas regras de comportamento interessantes… que não mencionarei, seria, de certa forma, um spoiler. Vou é propor um pequeno experimento mental: o que fazer se você vê uma aglomeração de seres trabalhando ou jogando algum esporte? (claro que existem diversões bidimensionais!) Ou pega o livro ou tente você mesmo responder à questão =D Duas dicas: lembre-se do ponto de vista do ser bidimensional, ele vê tudo em linha vertical; a outra dica, pressa não existe nesse mundo, paciência é a norma.

Outra coisa que achei muito legal é pensar a respeito das leis físicas nesse universo. Elas se comportam de maneira diferente, por exemplo, você sabe que no nosso universo, a força gravitacional diminui à proporção de [tex]^1/_{d^2}[/tex]. Em duas dimensões, diminuiria à razão de [tex]^1/_d[/tex], ou seja, as forças da natureza, de certa forma, são mais fortes em 2D que em 3D, porque demoram mais para se dispersar. Para entender melhor, tente imaginar o seguinte em 3D:
- temos uma fonte de luz pontual que emite energia;
- à distância de 1 metro dessa fonte de luz, temos um quadrado iluminado pela fonte de luz com uma certa energia E;
- à distância de 3 metros, teremos 9 quadrados iluminados pela fonte de luz, mas a energia que incide é a mesma, E. Ela está apenas distribuída nos 9 quadrados, em vez de se concentrar em um só quadrado;

É por isso que a energia se reduz ao quadrado com a distância. Agora, em 2D, nos interessa apenas a “linha” , que vai da fonte da luz até o vértice do quadrado a 1 metro de distância. Para visualizar graficamente isso, dê uma olhada nesse esquema que é uma página do livro no Google Books que explica esse fenômeno da energia bidimensional.

Também há no livro algumas reflexões a respeito do eletromagnetismo, dos átomos e das configurações possíveis de moléculas no plano… e muitas outras coisas. Então, será que dei motivos suficientes para tu querer ler o livro?

Para finalizar, que tal “relaxar” tentando decifrar formas em quatro dimensões? Pegue gratuitamente (e legamente) esse filme, Dimensions, e boa diversão!

Racional ou real?

Fonte: Mighty Wombat

Pelo que entendi do artigo, cada sino é responsável por uma nota em um certo instante do tempo. Para simplificar as coisas… suponha que temos 4 sinos. E uma permutação… ah, o que vem a ser isso? Resumidamente, uma permutação é: de quantas maneiras possíveis posso colocar em ordem um certo número x de objetos? Cada maneira possível de ordenar os x é uma permutação. Qualquer coisa, dê um pulo no verbete da Wikipedia =)

Continuando… uma permutação entre os sinos pode ser feita (change), ou seja: 1234 significa que toca-se o sino 1 primeiro, depois o sino 2, o sino 3 e finalmente o sino 4. Do artigo, existe o termo ring the changes, que é basicamente tocar as permutações (que são os changes), obedecendo a três regras:
- A sequência começa e termina com a permutação 1234.
- Exceto pela permutação 1234, não se pode repetir permutações nessa sequência.
- De uma mudança para outra (de uma permutação para outra), o sino pode mover por, no máximo, uma posição, em sua ordem de toque.
Uma sequência assim seria válida: 1234 – 2143 – 1243 – 1234. No artigo tem uma imagem com uma sequência maior ainda, que reproduzo aqui:

Sequência de changes com 4 sinos

Fonte da imagem: +plus

Tocar um sino leva mais ou menos dois segundos, o tempo aproximado de um sino grande para completar um círculo de 300 graus (quase um círculo completo).

Sino tocando

Fonte: Washington Ringing Society

E os experientes, se quiserem tocar por longos períodos, podem tocar até 5 mil permutações! Uau! Isso resulta em horas de sinos tocando… Os caras não usam nada para se lembrarem das sequências, nem aqueles papéis com notas e um tocador não pode ser substituído por outro enquanto há a sessão de puxar as cordas do sino. Melhor ainda, deve conseguir recitar sem erros a sequência de várias centenas de combinações possíveis com o conjunto de sinos!

Um dos objetivos a ser alcançado é atingir o maior número possível de permutações sem infringir a terceira regra. Isso é conhecido como extent, no linguajar dos bellringers. A cada número de sinos, cada extent tem um nome (que são, digamos, inusitados), como Plain Bob Minimus (4 sinos), Plain Bob Doubles (5 sinos), Plain Bob Minor (6 sinos) e por aí vai com a mesma estrutura do Plain Bob Minimus. Há outros tipos de sequências com nomes mais inusitados ainda como Reverse Canterbury Pleasure Place Doubles, Grandsire Triples, e Cambridge Surprise Major…

Se você tem um conjunto de 4 sinos, pode fazer uma sequência máxima de 24 permutações (ou changes in extent). Que leva mais ou menos 48 segundos para ser tocada. Quando maior o número de changes na sequência, maior o tempo necessário. Parece que com 8 sinos, tem 40320 permutações a tocar e leva 22 horas e 24 minutos para ser tocada! Essa foi a maior sequência feita e apenas uma vez  em Loughborough Bell Foundry em 1963 (com um tempo de quase 18 horas). Já com 9 sinos a coisa não se torna lá muito viável humanamente, a sequência teria 362880 permutações e levaria 8 dias e 10 horas!

Lá no artigo tem muitas outras coisas interessantes, como vídeos do pessoal em ação com som e tudo – não consegui linkar os vídeos, então vão ter que visitar o artigo mesmo para visualizar e ouvir. Há ainda sobre  o papel das permutações na matemática – como teoria dos grupos, por causa da simetria das permutações – e outra maneira matemática de explorar as sequências de permutações dos sinos que é na teoria dos grafos. Os vértices dos grafos seriam as permutações e as arestas a sequência permitida entre uma permutação e outra (obedecendo à terceira regra, de mudar apenas uma posição).

Daí você se pergunta. Porque diabos tem toda essas regras? Porque que não usam simplesmente tons para tocar? O problema é que sinos são meio grandes e levam um tempinho para o som “se completar”. Se você tocar rápido demais, os sons começam a se “sobrepor” e não sai daí uma coisa harmoniosa. Por isso que os tocadores de sinos botaram algumas regras para ter um toque perfeito dos sinos da igreja.

Tentei dar uma pesquisada para ver se tem no Brasil alguma associação ou igrejas que têm grupos assim, mas não consegui achar nada a respeito. Se alguém souber de algo a respeito, diz aí!

Enfim, para concluir, isso só prova que a matemática está em tudo, até nos lugares mais inusitados!

Veja mais:
Verbete na Wikipedia sobre Change Ringing – tem mais links no final.
Artigo do +plus Ringing the Changes.
The Central Council of Church bell ringers.
Site do Washington Ring Society com algumas animações.